martes, 15 de mayo de 2007

LOGARITMOS DECIMALES

Si observamos las siguientes igualdades:

1^0=1, 2^0=1, 3^0=1, 10^0=1
1^1=1, 2^1=2, 3^1=3, 10^1=10
1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 10^2=100
1^3=1, 2^3=8, 3^3=27, 10^3=1000
1^4=1, 2^4=16, 3^4=81, 10^4=10000

En la primera columna vemos que no importa el exponente que la coloquemos a la base 1 (uno), siempre la potencia será 1. Con las siguientes columnas la única potencia que se repite es cuando el exponente es cero, mientras que en las restantes varía la potencia de acuerdo a la base y al exponente.

Ahora la operación inversa de la potenciación, consiste en encontrar el exponente conociendo la base y la potencia. Por ejemplo, si 10n=100, es claro que el valor de n debe ser 2, para que la igualdad se cumpla. Pero si 10n=25, el valor de n, ya no es tan obvio.

Bien, pues a la operación de encontrar el valor de n como en los dos últimos casos, se le llama obtener el logaritmo de un número, y se define como sigue:

Se llama logaritmo de base b de un número N, al exponente a que hay que elevar la base b para obtener dicho número.
La forma abreviada de la anterior proposición es: El logaritmo de base b de N es L o bien logbN=L, por lo tanto logbN=L expresado en otra forma sería bL=N, de lo anterior se observa que:
b = base.
L = exponente.
N = potencia.

Base.
Cualquier número positivo diferente de 1, puede ser tomado como base de un sistema de logaritmos. Por lo que observamos en nuestro primeros ejemplo el 1, no puede tomarse como base.
De lo anterior, resulta que se podría trabajar con un número infinito de sistemas de logaritmos, pero hay dos bases con las que se trabajan comúnmente: El sistema de logaritmos decimales, vulgares o de Briggs, cuya base es 10; y el sistema de logaritmos naturales o neperianos, cuya base es el número irracional e= 2.718281...

Los logaritmos decimales, se representan por la abreviatura log. Cuando se quieren representar logaritmos de otro sistema, se emplea la misma abreviatura log, pero escribiendo a la derecha y como subíndice, la base del sistema.



Por ejemplo:
Log 29, logaritmo decimal de 29.
Log538, logaritmo en base 5 de 38.
LogaB, logaritmo en base a de B.


Logaritmos decimales.

log 100= 2 por que 102=100
log 1000= 3 por que 103=1000

El logaritmo de 800 será un valor que se encuentre entre 2 y 3. Es decir, será 2 mas una fracción decimal; Exactamente y con cuatro cifras decimales es:
log 800 = 2.9031

La parte entera del logaritmo (2) se llama característica y la parte decimal (.9031) mantisa.
En la obtención de la característica de el logaritmo de un número se presentan dos casos:
a) Cuando el número es mayor que uno.
b) Cuando el número es menor que uno (pero mayor que cero).

Para encontrar la característica del logaritmo de un número mayor que uno, se cuentan cuantas cifras tienen el número en la parte entera y a esta cantidad, se la resta uno y el valor que se obtenga será la característica del logaritmo.

Por ejemplo:
De 1.4324 la característica será 0.
De 27.8332 la característica será 1.
De 578.3624 la característica será 2.
De 1542.7684 la característica será 3.
De 7867894 la característica será 6.
De 54724 la característica será 4.

Ahora para encontrar la característica de un número menor que uno, se cuenta de izquierda a derecha a partir del punto decimal, el número de lugares , hasta donde se encuentre la primera cifra diferente de cero y el número de posición será la característica del logaritmo.
Hay que aclarar que en este caso la característica se considera negativa y para indicar esto, se le coloca una barra sobre el número resultante, mientras que la mantisa es positiva.
Ejemplos:
De 0.004325 la característica es .
De 0.05721 la característica es .
De 0.3542 la característica es .
De 0.0000004572 la característica es



La mantisa que es la parte decimal del logaritmo, se encuentra mediante tablas. Estas tablas pueden contar con 3 secciones como se ilustra a continuación.





Para encontrar la mantisa en las tablas se ocuparan las primeras cuatro cifras diferentes de cero del número, empezando de izquierda a derecha, sin importar que se encuentren en la parte decimal. Las dos primeras se buscaran en la primera columna de las tablas, después sobre el mismo renglón se sigue hasta la columna que contenga a la tercera cifra de nuestro número, ahí se localiza una cantidad de 4 cifras, siguiendo por el mismo renglón hasta la columna que contenga nuestro cuarto número, en la sección de partes proporcionales, se encontrará otra cantidad, que se sumara con la que encontramos anteriormente, el resultado de esta adición será la mantisa de nuestro logaritmo.

Por ejemplo; para encontrar la mantisa de un numero como 62.4334 se procede de la siguiente manera:
Se toman solamente los números 6243 y se busca en la tabla:





7952+2=7954

Por lo tanto la mantisa del logaritmo del número 62.4334 es: 7954.

Ya que contamos con todos los elementos, encontraremos a continuación el logaritmo de los siguientes números.


Si observas, en el cuarto, quinto y sexto ejemplos, la mantisa es la misma, únicamente cambia la característica, esto ocurre con números a los cuales se multiplican o dividen por diez, su característica aumenta o disminuye en uno, mientras que la mantisa permanece igual.

Nota: Al hacer uso de la calculadora para encontrar el logaritmo de un número, si el número es mayor que uno, el resultado que de la calculadora será casi igual al que encuentres en las tablas, solo variaran las cifras en la parte decimal en cuanto a cantidad. Ahora si se obtiene el logaritmo de un número menor que uno, se obtendrá un número negativo, ya que la calculadora realiza la diferencia entre la característica que es negativa y la mantisa que es positiva.

Antilogaritmo.

Si un número es el logaritmo de otro número, el segundo se llama antilogaritmo del primero; se denota por antilog. Así por ejemplo como el logaritmo de 100 es 2, resulta que: antilog 2 = 100.
Se dice que cuando se calcula el valor de un número a partir de su logaritmo, se esta determinando el antilogaritmo o inverso de logaritmo.
si se tiene que log 962 = 2.9832
el antilog 2.9832 = 962

Para obtener el antilogaritmo de un número mediante tablas se procede de una forma muy similar que cuando se obtiene el logaritmo y el procedimiento es el siguiente:
a) Se toma solamente la parte decimal del número.
b) Las dos primeras cifras se buscan en la primera columna de las tablas. Se sigue por el mismo renglón hasta la columna que contenga a la tercera cifra de nuestra parte decimal, el número ahí hallado se sumara con la cantidad que encontremos, siguiendo por el mismo renglón hacia las partes proporcionales y que contenga nuestra cuarta cifra de nuestro número.
c) Se escribe el número encontrado en el paso anterior y se le colocará el punto decimal en la posición que resulte de sumar el número que tenemos en la parte entera de nuestro número mas uno.
En algunos casos será necesario colocar ceros a la izquierda o la derecha del número encontrado, dependiendo se la característica es negativa o positiva.


Ejemplo: Encontrar antilog 2.7456

a) Tomamos .7456.
b) 5559+8= 5567.
c) Característica de 2 2+1=3
Antilog 2.7456 = 556.7
Ejemplos:

Antilog .9811 = 0.009576
Antilog 0.5632 = 3.65
Antilog 1.5632 = 36.5
Antilog 5.1241 = 133000.
Antilog .2734 = 0.01877

Propiedades de los logaritmos.

1.- La base de un sistema de logaritmos no puede ser un número negativo.
2.- En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero.
3.- En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1.
4.- Los números negativos no tienen logaritmo.
5.- Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
6.- Los números menores que 1 tiene logaritmo negativo.
7.- El logaritmo de un producto es igual la suma de los logaritmos de los factores:

8.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:


9.- El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto del exponente por el logaritmo de número:



10.- El logaritmo de una raíz es igual al cociente que resulta de dividir el logaritmo del subradical entre el índice de la raíz:


BIBLIOGRAFÍA


- Dr. Aurelio Baldor, Álgebra. Ed. Publicaciones cultural, México, 1994.
- Prof. Ángel Bello Gómez, Tercer curso de Matemática. Ed. Herrero, México, 1964.
- Mtros. Miguel Preciado Cisneros y Carlos Toral Gutiérrez, Curso de Matemáticas 3ro. Ed. Progreso, México, 1979.
- Arquímedes Caballero, Lorenzo Martínez y Jesús Bernardez, Matemáticas Tercer curso. Ed. Esfinge, México, 1981.
- Arquímedes Caballero, Lorenzo Martínez y Jesús Bernardez, Tablas Matemáticas. Ed. Esfinge, México, 1981.